Diferenciais inexatas

by @ 21:31 on 2 maio 2009. Filed under Matemática

Em termos conceituais uma diferencial inexata é um porção infinitesimal (me perdoem os matemáticos) de qualquer grandeza. Uma diferencial exata é uma variação infinitesimal de uma grandeza que seja uma função. Às vezes é possível que exista uma função cuja variação corresponda ao valor de certa grandeza, mas, em geral, não. O calor e o trabalho, em suas definições, não são diferenciais exatas. Contudo, em sistemas conservativos, é possível expressar o trabalho da força de interação como a variação de uma “energia potencial” (a menos do sinal). Outras variações também são inexatas como o incremento de volume ou de massa, por exemplo.
O fato de massa e volume não serem diferenciais exatas não impede sua integração, o mesmo se dando com calor e trabalho. O importante, nesses casos, é entender que a integral resulta na massa, no volume, no calor e no trabalho e não na variação dessas grandezas, que é o que a integral de uma diferencial exata fornece. Isto é, não existe uma função do ponto (no espaço-tempo) que seja a massa, o volume, o calor ou o trabalho. As diferenciais dessas coisas não são variações infinitesimais, mas sim, “porções infinitesimais”.
Finalmente quero comentar que o símbolo delta minúsculo deve ser reservado para “variação” no sentido do cálculo variacional e não no de diferencial inexata. Para isto é melhor se usar d’ ou o “d” cortado. A variação do cálculo variacional é uma diferença entre valores de uma grandeza quando obtidos por meios de diferentes funções. Isto é:
δF = F’(x) – F(x), enquanto dF = F(x’) – F(x) . No primeiro caso são duas funções aplicadas ao mesmo x e no segundo caso é a mesma função aplicada a diferentes x.

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