Força gravitacional

by @ 0:52 on 16 outubro 2009. Filed under Física

Absolutamente a força gravitacional NÃO é proporcional à SOMA das massas, mas ao seu PRODUTO. Por favor, confira seus compêndios de Física do Ensino Médio. Sou professor de Física com 12 mil horas-aula no Ensino Médio ao longo de 12 anos e 8 mil horas-aula no Ensino Superior ao longo de 20 anos, além de 10 anos de administração escolar e não iria me enganar a respeito disto. Além do mais minha área de estudo no Mestrado foi, justamente, Relatividade, Gravitação e Cosmologia.
Quanto à aceleração da Terra em relação a Júpiter ou de Júpiter em relação à Terra, se sozinhos no Universo, elas teriam exatamente o mesmo módulo, pois, sendo a distância da Terra a Júpiter exatamente igual à distância de Júpiter à Terra, isto implica que suas derivadas primeira (velocidade) e segunda (aceleração) têm o mesmo módulo, inclusive porque seriam calculadas em relação ao tempo próprio de cada um, que coincidem, uma vez que são calculados (um em relação ao outro) pela aplicação de duas transformações de Lorentz, uma inversa da outra (já que as velocidades relativas são simétricas).
Coisa diferente é o valor da aceleração de cada um deles em relação a seu centro de massa, que é um referencial inercial, no qual a segunda lei de Newton se aplica. Elas seriam inversamente proporcionais aos valores das massas (aliás é a partir desta constatação empírica que Mach conseguiu dar um tratamento consistente às leis de Newton, separando as definições dos fatos empíricos). Como Júpiter é 317,8 vezes mais maciço que a Terra, sua aceleração seria 317,8 vezes menor que a da Terra.
A força de atração, contudo, seria exatamente a mesma, a cada momento (na mecânica Newtoniana).

O fato que retardou a publicação da Lei da Gravitação Universal por Newton foi que ele intuiu que, na expressão da força de interação entre a Terra e a Lua, a distância a ser considerada deveria ser a distância entre o centro da Terra e o centro da Lua, mas não sabia provar isto matematicamente. Para conseguir provar ele inventou o cálculo integral e integrou a contribuição de cada elemento de massa de um corpo com simetria esférica sobre uma massa externa a ele, provando que se comportava como uma massa puntiforme localizada em seu centro.

Aliás o “insight” de Newton foi o seguinte: aqui na superfície da Terra os corpos caem com a aceleração de 9,8 m/s². Quem sabe a Lua não seria um corpo em queda para a Terra (que, como tem uma velocidade tangencial e a Terra é redonda, nunca acha o chão e fica rodando em volta, sempre procurando-o)? A aceleração da Lua para a Terra vale 2,7E-3 m/s². A razão entre esses valores é 3.630, enquanto a razão entre o raio da órbita da Lua e o raio da Terra é 384.400 km/6.371 km = 60,3 , cujo quadrado é 3.640, quase exatamente o valor da razão anterior. Isto o levou a concluir que a força fosse inversamente proporcional ao quadrado da distância, desde que esta fosse medida em relação aos centros.

Tal proposição derrubou a noção de que o “céu” tivesse uma natureza distinta da Terra. Isto é, Newton estendeu ao céu as leis naturais vigentes na Terra.

O importante aqui é considerar que o campo gravitacional de 9,8 N/kg na superfície da Terra deve-se não só à contribuição do solo adjacente, mas de toda a massa da Terra, como se estivesse concentrada em seu centro.

ESCLARECIMENTOS GRÁFICOS

Consideremos dois corpos de massa “m”, separados pela distância “r” e exercendo, um sobre o outro a força “F”:

m———->F F< ----------m

Se dobrarmos a massa de um deles apenas, cada uma das massas m fará e sobrerá, por parte do outro a mesma força "F", desde que mantida a mesma distância:

m---------->F F< ----------m
m---------->F F< ----------

Note que no corpo da esquerda, de massa 2m, há uma força F sobre cada uma das m, devida à massa m do corpo da direita. A força sobre ele será, então, 2F.
Sobre o corpo da direita, de massa m apenas, há uma força F por parte de cada uma das massas m que compõe o corpo da esquerda. A força sobre ele é, portanto, também, 2F, de acordo com a lei da ação e da reação.

Se dobrarmos a massa dos dois, cada um sofrerá, em cada uma das suas massas m, uma força F por parte de cada uma das massas m do outro corpo, assim:

---------->F F< ----------
m---------->F F< ----------m
m---------->F F< ----------m
---------->F F< ----------

Portanto a força sobre cada um será 4F, novamente de acordo com a lei da ação e reação. Mas, como 2+2 = 2x2, isto não esclarece se está valendo a soma ou o produto.

Consideremos então que dobremos a força de um e tripliquemos a do outro.

Cada uma das duas massas m do primeiro sofrerá uma força F por parte de cada uma das 3 massas m do segundo, totalizando uma força de 6F e cada uma das 3 massas m do segundo sofrerá uma força F por parte de cada uma das 2 massas m do primeiro, totalizando, também uma força de 6F. Só que este seis vale 2+2+2 e o primeiro 3+3, ou seja o primeiro é 2x3 e o segundo é 3x2, o que vale o mesmo, confirmando a lei da ação e reação e a lei do produto das massas.

. ---------->F F< ----------
m---------->F F< ----------m
. ---------->F F< ----------
. ---------->F F< ----------m
m---------->F F< ----------
. --------->F F< ----------m

Quanto à variação com o inverso do quadrado da distância isto pode ser entendido considerando que o fluxo de campo que emana de uma carga puntiforme esparge-se isotropicamente no espaço circundante, tendo uma densidade igual ao fluxo dividido pela área abrangida, como no caso da luz, então, como a área de uma esfera é 4*pi*r², dobrando-se o raio, quadruplica-se a área, fazendo a densidade do fluxo cair a um quarto. O flluxo total emanado em todo o espaço, é 4*pi*G*M, em que G é a constante da gravitação universal (medida por Cavendish, que com isto "pesou a Terra") e M é a massa gravitacional do corpo gerador do campo. A densidade do fluxo é justamente a intensidade do campo gravitacional, que, devido ao princípio da equivalência entre a massa gravitacional e a inercial, vale a aceleração da gravidade no local, isto é, o "g", que, na superfície da Terra, ao nível do mar e a 45° de latitude, vale 9,80665 m/s².

De fato a aceleração real de queda dos corpos difere do campo gravitacional devido aos efeitos centrífugos de rotação da Terra, ao empuxo do ar e ao efeito de Coriolis, devido ao movimento próprio do corpo em queda. Um análise cuidadosa desses fatores (inclusive responsáveis pelos furações e tornados) pode ser achada no livro de Mecânica do Alonso & Finn.

A Lei de Gauss (de que o fluxo do campo que atravessa uma superfície fechada é proporcional à massa em seu interior) é considerada um corolário da Lei da Gravitação de Newton, que provém da experimentação, no que tange às distâncias, isto é, é empírica. A conservação do fluxo, então, reflete a euclidianidade do espaço local, pois depende de ser a área de uma esfera igual a 4*pi*r². Todavia tal fato é considerado mais profundo do que a lei do inverso do quadrado, isto é, mesmo se o espaço não for euclidiano, e a área não for igual a 4*pi*r², o fluxo de campo é conservado e a lei da força não varia com o inverso do quadrado.
Quanto às massas, em nenhum lugar eu disse que 2+2 = 2x3, mas sim que 2+2+2=3+3, isto é, que 3x2=2x3, isto é, que duas massas "m", atraindo três massas "m", fazem a mesma força que três massas "m", atraindo duas massas "m", à mesma distância, e que esta força é seis (e não cinco) vezes maior que a de uma massa "m", atraindo outra massa "m", a esta distância. Isto é: a força é proporcional ao PRODUTO e não à soma das massas que se atraem.
Aliás isto é uma decorrência de se constatar que a atração gravitacional (como a elétrica) é proporcional, independentemente a cada uma das massas (cargas gravitacionais) dos corpos envolvidos. Isto é, é proporcional à massa de um deles e também proporcional à massa do outro deles. A operação matemática que dá conta dessa proporcionalidade simultânea é a multiplicação e não a adição.
Outra coisa é dizer que quando se adicionam duas massas para fazer um corpo composto, quando atraidos por um terceiro corpo, então a força de atração do corpo composto será igual á SOMA das força sobre cada um isoladamente (à mesma distância). Isto está certo, mas é outra situação:

M---------->F1 F1< ----------m1

M---------->F2 F2< ----------m2

M-------------------->F1+F2 F1+F2<——————–(m1+m2)

Tanto a gravidade quanto a eletricidade e o magnetismo são força que se estendem infinitamente, certamente com redução de sua intensidade, as duas primeiras com o inverso do quadrado da distância e a terceira com o inverso da distância. Tal não ocorre com a força forte (gluônica) e a força fraca (dos bósons W e Z). Isto está ligado ao valor nulo da massa de seus mensageiros, o fóton e o gráviton, dentro de uma interpretação quântica. No caso de se considerar a gravidade não como uma interação, mas sim como uma manifestação da curvatura do espaço, no qual as trajetórias inerciais são as geodésicas do espaço-tempo (mas não do espaço), como falou o Eduardo, então não existem grávitons. Isto é a Relatividade Geral. Os grávitons só surgem na aproximação linear da Relatividade Geral, que consegue ser quantizada, pois as equações quânticas são lineares e a de Einstein não. Isto significa que, na equação de Einstein existem produtos de derivadas, que impedem a interpretação quântica de operadores lineares (os observáveis) atuando sobre os vetores de estado, como ocorre não só na quântica não relativística como na relativística especial, mas não na geral. Como ainda não houve sucesso na detecção de grávitons e nem na unificação da gravidade com as demais interações, parece que, de fato, a gravidade não é uma interação mas uma decorrência do encurvamento do espaço. O fato paradoxal é que os grávitons aparecem teoricamente na aproximação linear, válida para campos fracos, mas os grávitons só poderiam ser detectados em campos fortes, nos quais eles não existem teoricamente. Curioso!

TERRA E JÚPITER

A aceleração de um corpo para a Terra, próximo a sua superfície é de 9,8 m/s².
A aceleração de um corpo para Júpiter no limite superior de sua atmosfera é de 24,8 m/s²
A primeira é dada pela expressão gT = GMT/RT² e a segunda por gJ = GMJ/RJ², em que:
gT: aceleração da gravidade devida à Terra, na superfície da Terra;
gJ: aceleração da gravidade devida a Júpiter, no limite de sua atmosfera;
G: constante universal da gravitação = 6,67 x 10^-11 N.m²/s²
MT: massa da Terra = 6,0 x 10^24 kg
MG: massa de Júpiter = 1,9×10^27 kg = 320 x MT
RT: raio da Terra = 6.400 km
RJ: raio de Júpiter (até o limite superior da atmosfera) = 70.000 km
Se estivessem sós no Universo, a aceleração de um em relação ao outro seria calculada da seguinte forma (veja o artigo que escrevi sobre isto em http://www.ruckert.pro.br/blog/wp-trackback.php?p=151 ):
a = G*(MT+MJ)/r^2 (note que a “força” será dada por: F=G*MT*MJ/r^2)
Tal aceleração dependerá da distância “r” entre os centros dos dois planetas.
Se eles estivessem se tocando, como considerou o Antônio, esta aceleração valerá (usando os números fornecidos, sendo r = RT + RJ):
a = 21,8 m/s², que não é igual à soma dos g’s superficiais, 34,6 m/s²
Em termos dos g’s superficiais de cada um, a expressão seria:
a = (gT*RT²+gJ*RJ²)/(RT + RJ)² (a dedução fica como exercício).
Substituam os valores, façam a conta e confiram se coincide! (haverá uma aproximação, pois informei os dados arredondados).

A medida da força de atração gravitacional entre corpos de massa pequena foi feita pela primeira vez por Cavendish em 1798 (111 anos depois de Newton ter publicado sua “Lei da Gravitação”). Para tal ele usou uma “Balança de Torção”, como mostrado neste artigo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cavendish_experiment .
Veja, também este: http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitation .
Estou vendo se acho um vídeo do filme do PSSC sobre essa experiência que eu usava (toda a bateria de 52 filmes) nas aulas do Ensino Médio na EPCAR, nas décadas de 60 e 70 do século passado. São filmes excelentes de experiências físicas, mas em celulóide de 16mm, coisa que atualmente não se tem nem o projetor para passar. Sei que foram convertidos em VHS na época dos vídeo-cassetes, mas depois perdi o contato e não sei se foram convertidos em vídeos digitais MPEG. São em tons de cinza, falados em inglês, filmados em 1957, mas, tirando as roupas fora de moda, são tão válidos hoje quanto à época. Fiz parte, inclusive, da equipe da EPCAR que traduziu e dublou os filmes, que eram passados sem som, com a audição simultânea da dublagem em gravadores de rolo.

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One Response to “Força gravitacional”

  1. Felipe disse:

    Puxa, muito bem explicado!!! É bom os compêndios do ensino médio passarem por uma rigorosa revisão!

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