Cardinalidade

by @ 3:21 on 16 julho 2010. Filed under Matemática

Para dizer se números existem ou não é preciso, antes de tudo, precisar o que significa “existir”. Existir é pertencer à realidade, mas há diversas categorias de realidade. A mais básica é a física, ou concreta, das coisas da natureza, como objetos materiais, mas também os campos de força e as radiações. Esta é objetiva, isto é, existe fora de mentes que a conceba. Outra categoria de realidade é a dos conceitos ou idéias, que só existem em mentes que os concebam. Todavia é possível atribuir objetividade a conceitos, desde que haja um consenso entre diversas mentes em sua concepção. Isto torna a idéia algo compartilhado entre mentes e, de certa forma, independente delas, mesmo que qualquer idéia deixe completamente de existir se nenhuma mente a conceber. Tal é o caso dos números. São abstrações e, portanto, não existem na natureza, mas só nas mentes. Todavia a coletividade dos pensantes, ao fazer a mesma idéia deste conceito, torna-o objetivo. E que conceito é este. O conceito mais elementar de número é o de número natural, que é a propriedade comum a todos os conjuntos finitos cujos elementos possam ser colocados em correspondência biunívoca. Esta idéia se chama “cardinalidade”, isto é, quantos elementos o conjunto tem. Ao conjunto vazio se associa o número zero, aos de um único elemento o número um. A partir daí pode-se construir a idéia dos que lhe seguem (dois, três…) pela operação de adição, que contempla a cardinalidade da união de conjuntos disjuntos (que não possuam elementos comuns). Os números naturais podem se estender indefinidamente, pois sempre se pode adicionar mais um elemento a qualquer conjunto, abstratamente falando. Assim a cardinalidade do próprio conjunto de todos os números naturais não é um número natural. Trata-se de um “cardinal transfinito”. Os conceitos de números inteiros negativos e dos números racionais (frações) são extensões construídas a partir dos naturais. Os irracionais, reais, complexos e quatérnios já exigem outras considerações, da teoria dos limites.

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