A Razão Áurea

by @ 11:35 on 13 novembro 2012. Filed under Ciências, Matemática

Muitos me perguntam se há algo esotérico ou cabalístico na razão áurea. Porque motivo a natureza se comporta de modo a exibir essa razão em suas construções? Ora, isso é, nada mais, do que uma consequência natural de que, quando algo cresce, o crescimento é proporcional ao que já se tem. Como o juro composto. Ou a expansão do Universo. A matemática é simples e só reflete esse fato totalmente banal. Dada qualquer coisa que tenha uma grandeza X e esteja crescendo naturalmente em toda a sua extensão, é claro que a metade do todo cresce a metade do que o todo cresce. Ou qualquer outra fração. Isso é óbvio e perfeitamente natural, não tendo significado transcendental nenhum. Em outras palavras, X’ – X = kX. Além disso, observa-se que a razão de acréscimo k é, justamente, a razão do que se tinha antes para o que se tem agora, ou seja, X/X’. Daí se tira uma equação para k. De k = X/X’, tem-se X’ = X/k. Levando-se esse resultado na primeira equação tem-se X/k – X = kX. Não considerando X=0, pode-se eliminar X e se tem 1 – k = k², que é uma equação do segundo grau em k de solução k = (√5 – 1)/2 ≈ 0,618. O que se chama de “razão áurea” é o inverso disso (√5 + 1)/2 ≈ 1,618. Para se saber que tipo de função dá isso, consideremos o aspecto diferencial dx/dt = k.x(t). Ou seja dx/x = kt. Integrando, obtém-se ln(x) = kt + C, donde, x = A.e^(kt), sendo A o valor inicial da grandeza. Esse é o típico crescimento exponencial, como o de uma colônia de bactérias que tenha suprimento ilimitado de alimento, ou a expansão do Universo, dada pela “Lei de Huble”, segundo a qual a velocidade de recessão das Galáxias é proporcional à distância que se está dela, isto é v = dx/dt = Hx. A única diferença é que não se tem a condição de que a constante H seja a razão do que se tinha para o que se tem. É essa condição que fornece o aspecto harmônico do Náutilos, por exemplo. Ou a proporção dos lados e da altura do Parthenon, esse, agora, uma obra humana que imita a natureza.

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