Aceleração Gravitacional

by @ 21:39 on 20 março 2006.

As simplificações e erros conceituais muitas vezes cometidos em textos didáticos, especialmente no Ensino Médio, mas também no terceiro grau, são um grave problema que faz o estudante ter uma falsa idéia da complexidade da natureza. É sempre preciso mencionar o que está sendo simplificado e em que domínio de validade uma equação se aplica. Mesmo no Ensino Médio, por exemplo, quando se fala da queda livre, é preciso dizer que considerar a aceleração como “g” deixa de lado muita coisa (variação com a altitude, resistência do ar, pressão do ar, empuxo do ar, os efeitos centrífugo e de Coriolis da rotação da Terra, sem contar as perturbações devido ao Sol e à Lua, como a variação do peso com a hora). O pior é aproximar g para 10 m/s^2.
A mecânica newtoniana tem uma aplicabilidade extensa, inclusive no lançamento de satélites em órbita solar, que atingem seus alvos com precisão incrível, desde que todos os fatores relevantes sejam considerados (o fato de não haver poder computacional suficiente para resolver um problema de mais de dois corpos foi um dos empecilhos para não se terem viagens espaciais antes dos anos 50).
Um dos problemas a se levar em conta é o dos referenciais não inerciais. Toda a mecânica de Newton (brilhantemente bem estabelecida em seus fundamentos por Mach), mesmo na formulação lagrangeana (extremamente útil no lançamento de satélites) ou hamiltoniana, está calcada no conceito de referencial inercial. Aliás a primeira lei estatui tão somente que existe um tal referencial e como identificá-lo. No caso da medida da aceleração de queda, ela é feita com relação à superfície da Terra (ou do astro central em questão), que não constitui um referencial inercial. Nesses casos, correções devem ser feitas à aceleração (módulo e orientação). A própria mecânica lagrangeana permite levá-las em conta.
Vamos considerar as seguintes simplificações:
O astro central (de massa M) é esférico, de densidade independente da orientação (esfericamente simétrica) e não possui rotação.
O corpo em queda é uma partícula de massa m.
A queda se dá no vácuo.
Nenhum outro corpo do Universo interfere na queda.
A origem do referencial está no centro do astro central.
As velocidades não são relativísticas.
A intensidade das forças não é extremamente grande (de modo a não comprometer a linearidade).
Nenhum dos corpos está eletricamente carregado e nem tem momento elétrico ou magnético de qualquer ordem.
Nestas circunstâncias a “força” de gravidade é dada por G*M*m/r^2, em que “r” é a distância entre o centro do astro central e o corpo em queda.
Antes de prosseguir é importante discorrer sobre a definição de “força”.
A grandeza força é uma das que se usa para medir as interações (as outras são o impulso, o trabalho e o calor). Força não é propriedade de uma partícula, mas sim de um par de partículas.
Dadas duas partículas isoladas do resto do Universo, mede-se a aceleração de ambas em um referencial inercial (se elas forem as únicas do Universo este será o baricentro delas) em cada instante. Observa-se que as acelerações jazem na reta que une as partículas, têm sentidos opostos e a razão entre seus módulos é constante para um dado par de partículas, independente do tipo de interação e da separação entre elas (isto não ocorre no domínio relativístico, devido à finitude da propagação das interações, o que obriga a introdução da partícula mensageira). Este fato é empírico, portanto uma “lei”.
O inverso da razão das acelerações é definido como a “massa inercial” da partícula em relação à outra, tomada como unidade.
O produto da massa, assim definida, pela aceleração (no referencial inercial) é definido como a intensidade da “força de interação”.
A “Força” é o vetor que tem esse módulo e a direção e o sentido da aceleração sofrida. Note que se define força como a grandeza aplicada no corpo que a sofre e não no que a exerce.
Estas últimas proposições são “definições”.
Em decorrência vê-se que a força, assim definida, sofrida por cada um dos corpos, obedece às relações:
Tem o mesmo módulo em cada instante sobre os dois corpos;
Jaz na reta que une os corpos (partículas);
Têm sentidos opostos sobre cada uma delas.
Estas últimas afirmativas constituem o que é chamado de “Lei da Ação e da Reação” ou “Terceira Lei de Newton”.
Se houverem mais de duas partículas, podemos definir a “força” exercida por uma delas sobre a outra como a sofrida por esta outra, caso não houvesse mais nenhuma senão a considerada. Então haveriam várias forças de interação por parte dos diversos outros corpos. Mas a aceleração, por definição, tem que ser única. Se multiplicarmos a aceleração medida, pela massa do que a tem, teremos uma grandeza com a dimensão de força mas que não é força, porque não mede nenhuma interação. Denominamos isto de “Força resultante”. A força resultante é uma abstração matemática. Não é propriamente uma grandeza física.
Agora vém a parte notável da Segunda Lei de Newton: O “Princípio da Superposição Linear”.
Verifica-se empiricamente, dentro do limite de forças não muito intensas (o que não ocorre, por exemplo, na interferência de raios lasers potentes), que esta força resultante coincide em módulo direção e sentido com a “Soma Vetorial” das forças de interação sobre o corpo considerado. Esta parte é empírica também. Note que não existe resultante de forças aplicadas a partículas diferentes. Assim a “ação” e a “reação” não têm resultante nula, pois estão em corpos diferentes.
Pode-se resumir o que foi dito até agora como:
“A soma vetorial das forças sobre uma partícula em um dado instante é igual à sua massa inercial multiplicada por sua aceleração vetorial neste mesmo instante”.
A propósito, é interessante mencionar que o Cálculo Vetorial só tem a aplicabilidade que tem porque a natureza obedece ao “Princípio de Superposição Linear”, pelo menos aproximadamente.
Passemos a discutir a força gravitacional.
A experiência mostra que existe uma interação dita gravitacional, responsável pela queda dos corpos. A grande contribuição de Newton foi supor que um corpo em órbita é um corpo em queda. Assim, como conhecia a aceleração de queda dos corpos na superfície da Terra e a aceleração centrípeta da Lua em relação à Terra, pode inferir que a força de gravidade varia com o inverso do quadrado da distância.
O próprio Newton desenvolveu a matemática necessária (o Cálculo Integral) para provar que a distância em questão é a distância entre os centros da Terra e da Lua, supostas esféricas, e não a distância entre o baricentro delas e qualquer uma, ou de suas superfícies.
De modo análogo à atração eletrostática (regida pela Lei de Coulomb (1785), ainda não conhecida por Newton (1679)), haveria certa grandeza nos corpos, que mediria seu poder de exercer e sofrer força de gravidade. Por ora denominemos estas grandezas de “carga gravitacional ativa” e “carga gravitacional passiva”, Q e q, respectivamente.
Por definição destas grandezas, segundo Newton, a força de gravidade é proporcional ao produto delas. Note que definição não tem explicação. Para obedecer à lei da ação e da reação (que a experiência de Cavendish (1873) mostrou que a gravitação obedece), é preciso que os dois tipos de carga gravitacional sejam indistinguíveis e assim entrem de forma simétrica na expressão. Logo não há diferença entre a carga ativa e a passiva.
As experiências de Galileu na Torre de Pizza mostraram que a aceleração de queda, devida apenas à gravidade, é a mesma para todos os corpos, independente de sua massa (dentro da precisão em que isto foi estatuído). Isto só pode ocorrer se a carga gravitacional for proporcional à massa inercial. Então, nada impede que o fator de proporcionalidade fique embutido na constante geral da fórmula e que possamos dizer que não há distinção entre a carga gravitacional e a massa inercial, chamando os dois conceitos simplesmente de “massa”. Isto é o que estabelece o “Princípio da Equivalência”, um dos pilares da Relatividade Geral, cuja validade foi testada em 1971 por Branginsky e Panov com a precisão de 10^-12 (http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_principle).
A constante de proporcionalidade foi determinada no experimento de Cavendish, em 1873, ficando a fórmula da força de gravidade como:
F=G*M*m/r^2, onde “G” é a Constante Universal da Gravitação, que vale (6,6732 +/- 0,0031)*10^-11 N*m^2/kg^2.
Esta é a expressão do módulo da força, que atua ao logo da linha que une os centros das partículas e é atrativa. Note que este módulo não depende do referencial, desde que não se considerem efeitos relativísticos de contração do comprimento da distância entre as partículas. Para corpos extensos é necessário se proceder a uma integração vetorial e se um deles estiver em movimento há que se considerar o efeito do “potencial retardado” para cálculo da força (não vou considerar isto agora).
A questão da aceleração é bem mais complexa, pois a segunda lei de Newton se reporta a referenciais inerciais e, normalmente, eles não o são. Muitas situações exigem considerar referenciais não inerciais, como o estudo do movimento atmosférico na formação de ciclones. Para o que nos interessa, o que normalmente se tem é um corpo de menor massa (satélite) movendo-se sob a ação da gravidade de um de maior massa (planeta), com as posições, velocidades e acelerações medidas em relação ao centro deste último.
Neste caso, o problema de dois corpos pode ser reduzido ao de um único, movendo-se em relação ao outro, desde que a massa do primeiro seja substituída pela “massa reduzida” do par. A massa reduzida é dada pela expressão M*m/(M+m). Uma dedução completa pode ser achada em:
http://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem ou em qualquer livro de mecânica clássica (Symon, Goldstein, Landau, Taylor, Kibble) ou astrodinâmica (Moulton, Bate, Prussing).
No caso gravitacional, a posição do satélite com respeito ao planeta está governada pela mesma equação diferencial que rege a posição de um corpo muito pequeno que orbita um corpo com uma massa igual à soma das duas massas, porque o produto das massas dividido pela massa reduzida é igual à soma das massas. Assim a aceleração gravitacional será dada por G*(M+m)/r^2.
Há que se observar que, nesta expressão, “r” é a distância entre os centros dos astros e não em relação ao baricentro ou à superfície e que esta aceleração NÃO é medida em relação a um referencial inercial.
Assim sendo, se multiplicarmos a aceleração sofrida pelo corpo menor por sua massa, G*(M+m)*m/r^2, isto NÃO É o valor da “força de gravidade”, que mede a intensidade da interação. Isto é uma “força fictícia”, como a centrífuga, a de Coriolis ou outra “força inercial”. Para efeitos práticos de cálculo ela é extremamente útil e, em engenharia espacial, é usada normalmente. Mesmo em astrofísica, para computação de órbitas de braços galácticos, por exemplo, pode ser usada.
Mas a expressão expressa corretamente que a aceleração de queda dos corpos, medida no referencial da superfície da Terra, depende da massa do corpo em queda, diferente do que Galileu verificou. Só que o erro é da ordem de m/M, isto é 10^-25, que só apareceria na 25ª casa decimal (para um corpo de 1 kg). Certamente os outros fatores mencionados acarretam discrepâncias maiores.
Resumindo o exposto, digo que a aceleração do movimento orbital ou de queda é proporcional ao produto da soma das massas pela do corpo em movimento, no referencial do outro, mas a intensidade da força de interação é proporcional apenas ao produto das massas.
Este é um tipo de coisa que não é discutido, às vezes, nem na Física Básica dos cursos superiores de ciências exatas.

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7 Responses to “Aceleração Gravitacional”

  1. Marcos Penna disse:

    Somos levados a crer que a origem do referencial gravitacional está no centro da Terra, e somos levados a isso pela observação e por considerarmos o volume do planeta, mas uma
    outra observação nos leva a supor que haja mais forças atuando, mas estas ainda desconhecidas. Tal me ocorre por observar que, quando fora do alcance gravitacinal da Terra, as naves espaciais, dado ao seu volume, por pequeno que fosse, deveriam exercer uma atração sobre os astronautas ou mesmo dos pequenos objetos que flutuam no espaço em sua proximidade, mas esse fenômeno não é percebido.
    Que fator faltaria às naves espaciais para que elas possuissem uma força gravitacional própria?
    As naves espaciais não tem calor, e este algo que a Terra tem de sobra.
    Seria então o calor o gerador do efeito gravitacional?

  2. Ernesto disse:

    Realmente as naves (e qualquer corpo) exercem gravidade uns sobre os outros. Porque não o percebemos? Simplesmente porque as massas são pequenas em comparação com a massa da Terra, próximo da qual nos encontramos. Mesmo um astronauta em órbita sofre uma força gravitacional maior por parte da Terra do que por parte da nave próxima dele. Diferente do que se pensa, uma nave em órbita não está livre da gravidade. Se estivesse não ficaria em órbita mas se lançaria em linha reta pela tangente a sua trajetória. A ausência aparente de gravidade se deve ao fato de que tanto a nave quanto o astronauta estão com a mesma aceleração orbital e, portanto, um em relação ao outro, movem-se igualmente, não havendo apoio do astronauta por parte da nave. É o mesmo que acontece com uma pessoa dentro de um elevador em queda livre. Ela e o elevador caem igualmente, não havendo apoio do chão ao corpo dela. O que falta, pois, à nave para exercer gravidade é massa suficiente. A energia térmica dá uma contribuição para a massa mas o valor é inteiramente desprezível.

  3. [...] A Física é a ciência que procura explicar a natureza no nível mais profundo da realidade. Para tal elabora modelos e, nesses modelos, vários conceitos são colocados, que procuram descrever o mundo do modo mais assimilável possível. Mas, como toda ciência, é um construto humano. A natureza é como é e funciona independente de qualquer descrição que dela seja feita. Se não houvessem seres inteligentes não haveria ciência, mas a natureza seria da mesma forma. Em outros possíveis planetas com seres inteligentes, a descrição da natureza pode ser completamente diferente e, mesmo assim, dar conta do recado. Mesmo a nossa física humana é tal qual é por conta das injunções históricas que levaram a serem formuladas certas definições e conceitos. Poderiam ser outros. Por exemplo, quem sabe velocidade não pudesse ser definida como o logarítmo da razão do deslocamento pelo tempo. As fórmulas seriam diferentes, mas descreveriam a realidade também. Do mesmo modo que força poderia não ter sido definida e a mecânica analítica ter sido formulada sem que antes tivesse havido a newtoniana. Mas é preciso reconhecer que a formulação dos conceitos de velocidade, força, energia e outros, da forma como o são, são muito úteis e levam a uma compreensão mais intuitiva da natureza, por parte da população em geral. E, como disse a Maria, a Física não está aí só para os físicos, mas para todo o povo, especialmente para os engenheiros, que se valem muito da noção de força e com ela projetam praticamente tudo o que temos por aí, de uma simples casa a uma nave espacial. É claro que uma análise critica dos fundamentos da mecânica newtoniana pode e deve ser feita, como o fez Mach. Escrevi um artigo sobre “Aceleração gravitacional” em que também discorro sobre a conceituação e a definição de força: http://www.ruckert.pro.br/blog/?page_id=151 . Posso dizer que considero que “força” é algo bem palpável, além de extremamente útil.   [link] [...]

  4. luiz disse:

    Professor,

    Por favor comente, se preferir em meu e-mal – obrigado – Luiz

    http://www.orkut.com/CommMsgs.aspx?cmm=39633096&tid=2561063711992228058

  5. [...] A Mecânica Clássica, formulada por Galileu, Descartes, Newton, Lagrange, Laplace, Hamilton e outros grandes físicos e matemáticos do passado, centra-se no binômio movimento e interação, experimentados por entidades elementares que são as partículas materiais e seus agrupamentos em corpos extensos, rígidos, deformáveis, elásticos, plásticos ou flúidos, em um cenário externo de um espaço e um tempo absolutos. As grandezas que se atribuem a essas entidades são massa, velocidade, aceleração, energia, momentum e outras, enquanto as interações por elas experimentadas são descritas por grandezas como força, impulso, trabalho, torque etc. Na mecânica clássica há uma relação fundamental entre esses dois aspectos (movimento e interação) que governa o funcionamento do mundo (tudo, até o pensamento), que é a “Segunda Lei de Newton” que diz que a aceleração de uma partícula é diretamente proporcional à resultante das força que sobre ela atuam e inversamente proporcional à massa da partícula (para uma discussão mais detalhada, sugiro ler meu artigo: http://www.ruckert.pro.br/blog/?page_id=151 ). A primeira lei de Newton diz respeito à escolha do referencial correto (inercial), para que se possa descrever o movimento e a terceira versa sobre a intensidade relativa da interação experimentada por cada partícula. Todo o resto da mecânica clássica e até da termodinâmica clássica pode ser obtido a partir dessa lei. A Mecânica Clássica é estritamente determinista e, nas palavras de Laplace: “Nós podemos tomar o estado presente do universo como o efeito do seu passado e a causa do seu futuro. Um intelecto que, em dado momento, conhecesse todas as forças que dirigem a natureza e todas as posições de todos os itens dos quais a natureza é composta, se este intelecto também fosse vasto o suficiente para analisar essas informações, compreenderia numa única fórmula os movimentos dos maiores corpos do universo e os do menor átomo; para tal intelecto nada seria incerto e o futuro, assim como o passado, seria presente perante seus olhos”.   [link] [...]

  6. teri disse:

    Acho que o texto acima está suficientemente esclarecedor, dentro das limitaçãoes minhas, pois sou médico e do Sr poesiatododia, do meu blog, que é psicanalista.
    Mas neste texto seu, um esclarecimento a mim foi dado, quando o Sr postou, no início do comentário sobre movimento browniano, que empirismo advinha de experiências pessoais livres ou armedas de aparelhos, e, neste texto acima colocou “Este fato é empírico, portanto uma “lei”.” Pude, com isto, entender a dicotomia de entendimento do termo, pois quando usei a palavras “empiristas de plamtão” quis me referir àquele grupo de indivíduos que só se sentem a vontade em dar credibilidade a um fato se este fato for analisado sob o crivo de sua própria razão. Aqui, parece que usas o termo como um fato lógico analisado e convincente quando contraposto a outros fatos vigentes anteriormente. Talvez tenha usado empírico como sinônimo daquele tipo SÃO TOMÉ, que só acredita vendo. Certa vez já tive alguns embates com o Sr poesiatododia quando interpretava este substantivo mais como um adjetivo. Isto posso exemplificar: pela imprecisão biológica própria da medicina, não incomumente (talvez já tenhas passado por esta experiência) um clínico ou cirurgião usa NA MINHA EXPERIÊNCIA CLÍNICA OU PESSOAL, ou seja, uma postura pouco científica, pois nunca ou poucas vezes esta tal esperiência é consolidada cientificamente ou reflete o pensar médio científico médico. Esta postura é vista ou classificada como empírica, ou que se baseia na própria experiência pessoal. O famos SÃO TOMÉ, que só acredita vendo é outro exemplo de empirista. Daí eu ter escrito aquelas palavras antes do texto sobre movimento browniano

  7. Ernesto disse:

    As proposições a respeito dos conceitos que se usam para construir os modelos da realidade de que a Física se vale para descrevê-la são de quatro categorias: definições, leis, teoremas e princípios. Uma definição é uma delimitação do conceito, indicando a que ele se aplica e a que não se aplica. As definições são arbitrárias e não possuem explicação, isto é, não tem sentido verificar se são verdadeiras ou falsas. São aceitas ou não dentro do escopo de uma teoria. Já uma lei é uma proposição que descreve as relações observadas empiricamente entre as entidades descritas pelos conceitos previamente definidos. Uma lei precisa ser verificada experimentalmente ou observacionalmente, para que se possa dizer se é verdadeira ou falsa, dentro das restrções estabelecidas para sua aplicação. Em Física, pois, as leis são súmulas dos comportamentos da natureza, nos termos dos modelos descritivos, sendo, assim, empíricas. Os teoremas são proposições a respeito dos conceitos definidos, deduzidas por raciocínio lógico (normalmente matemático) com base nas leis, tomadas como postulados da teoria, e nas definições. A veracidade de um teorema, assim, assenta-se da veracidade das leis e na validade do raciocínio formulado sobre elas. Já um princípio é uma proposição não demonstrada, tomada como axioma da teoria, do qual, por dedução, podem ser obtidas as leis. Sua veracidade repousa na validade das deduções das leis e na veracidade de tudo o que possa dele ser deduzido, conferidas pela experiência ou observação. Uma experiência ou observação é a realização de um fenômeno natural, traduzido para os conceitos dos modelos explicativos, com a verificação das relações (geralmente matemáticas) observadas por eles. Quando um conceito, normalmente um atributo de uma entidade física, for passível de comparação quantitativa, dá-se a ele o nome de grandeza, que são os objetos que aparecem nas definições, leis, teoremas e princípios, quando formulados por meio de equações matemáticas. Nem toda proposição física, contudo, é passível de expressão por uma equação. Isto não significa que não possa ser um conceito, uma lei, um teorema ou um princípio, ou que esses conceitos não sejam entidades ou atributos de entidades correspondentes, em certo modelamento, a seres ou eventos da natureza.

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